与同学们谈数学学习

作者 华中科技大学 数学系 毕志伟

原文发表于2003年一月号湖北招生考试，给自学者读的。

关于数学的认识

设置数学课程的目的不是训练智力，不是识别学生智力的标准，不一定意味着大量的习题。

我们数学系83级曾经有一位学生，叫方复全，他很少做习题，但非常注重体会数学思想，理解直观原理。然后大量读书，研究书。现在是南开大学数学所的长江学者，数学大师陈省身身边的高材生。

汽车使您日行千里，移动的能力加强；电话能使您与万里以外的朋友讲话，交流的能力加强；电脑能帮您处理海量数据，记忆和计算的能力加强；数学则能为您提供一种洞察本质，化繁为简的抽象处理的简便方法，能够让您看懂这个世界在数量关系上的的本质，大大提高处理复杂问题的能力。这是由于世界是按照数学原理设计的：

光的折射角度是按照光子运动所需时间最短来确定的；

闭曲线上的肥皂膜是按照形成的曲面的面积最小设计的；

地球绕太阳的运动，每分钟扫描的扇形面积是相等的。

在目前的考试体制指导下，通过中学的学习，我们大家对数学的认识多半是片面的。表现为：

一些学生只关心作题，不研究概念，不体会方法，不欣赏结果。由于投入巨大却没有获得该得的回报，感觉学得很累。

更多的学生患有在中学得的数学恐怖症。其实，如果你对计算机有兴趣，不怕编程序。你就一定能学好数学课程。尤其是微积分，理论中充满着智慧和精彩的结果，方法也非常直观，比初等数学好学。关键是你不要自己事先就把自己封闭起来。要不断提示自己：我不怕他，我能看懂他，我能模仿他，我能掌握他，使用他。

关于学习态度

目前，有一种观点认为，学习是为了应付考试，考试过关便是学习成功的标志。这一指导思想使我们的学习变了样，一些同学缺乏认真踏实的学习态度，不愿意系统地进行学习。只是在考试前突击一下。根本体会不到数学的思想。学完后就忘记。

与某些非基础课不同，数学课程是一门基础课，所学知识与方法在后续的许多课程中所起的作用非常大（一种说法是，现在数学的地位是女仆，是伙计，数学在到处打工）。因此，即便一时蒙混过关，其他的后续课程还是无法学下去。不认真读书者最终害的还是自己。

因此，对于数学课程的正确态度应当是，既要通过考试，还要把知识真正学到手。必须要有一种认真对待，努力投入，踏踏实实的学习态度。

关于学习方法

在你对学习数学课程的目的有了一个正确的认识，并且想好好学习的话，便可以考虑以下关于数学课程学习方法的指导。这些方法是笔者在多年的教学经历中，从各种类型的学生那里所取得的，供同学们参考。

学习的三个环节。即读书，记笔记，做作业。以下就这三个环节的要点分别陈述如下：

①读书 读书方法有多种，如选读，泛读，精读。读数学书只能采用精读的方法，对课程内容要逐字逐句地理解，对公式要逐个地演算，读书的速度会很慢。并且，读书时应当写出自己的理解。有时候，作者有意将一些推导细节或类似的计算省略不写，为的是要读者自己去补上，以期从中得到体验。因此，你的书应当是愈读愈厚才是。有些同学不愿意干这种动手的工作，也就是不愿意动脑筋，自然，其读书的效果就不如别人。因此，读书是否到位的标志便是：教科书是否翻旧了，读书笔记是否作了，是否写有难点补注，解题体会。

在看懂书的基础上，你可以着重注意前后内容的联系，比较方法的异同。例如，在理解定积分的运算性质时，对比一下不定积分计算，导数计算，极限计算的性质，便会发现他们的共同之处。在学习极限存在，连续，可导，可微的概念时便应当注意它们的差异和联系，即可导与可微是等价的，可导推出连续，连续推出极限存在。在研读例题时，可以先不看书，自己试着解答，然后对比教材考虑：此处教材为何这样做？它是怎样想到的？我的计算为何那么复杂？在理解比较抽象的概念或定理时，要结合几何直观，结合熟悉的概念来理解，比如极大值点的充分条件是一阶导函数在该点附近的符号为左正右负，其直观解释能否做出？总之，要设法让读书过程生动起来，把书当作自己的无声的朋友，与之讨论，与之交流，便不会觉得枯燥，一定会收到比较好的效果。

②记笔记 在学习电脑时，我特别想听高手的指导，学习人家的经验，体会，教训，可以使自己不走弯路。听数学老师的课也是这样。因此，记好课堂笔记是十分有益的，它对于课后复习很有帮助。但课堂笔记不宜记得太多，凡是书上已有的，便不要记，或者只记个条目。特别要注意，关键是记下授课老师（可能是口头讲的）关于概念的解释与问题的解决思路。课堂上还是要以听为主，不懂时先作上记号，留待以后再思考或与人讨论。笔记中还可以记下学习的时间，进度，经验，要点，不断地激励自己。

总之，对书本或课堂上的知识进行整理，记下自己思考过的内容，是一个十分关键的环节。事实上，看着一大本自己做的笔记，会产生一种成就感，促使你更加努力地学习。当然，这需要毅力，需要时间与功夫。也许你今后能超出别人一筹，就在于你能够吃这种苦头，并在苦中找到乐趣，得到回报。

③做作业 做习题的习惯应当是从小学，中学便已养成的。对数学课来说，这一环节的重要性与必要性是十分明显的，无需点拨。通常情况下，学生都能完成作业，关键是做题的过程与方法。有不少学生在做习题时，喜欢照抄别人的作业，或者一遇到困难便去查习题解答方面的参考书。当今出版界对应试教育十分关注，市面上很容易找到各种习题解答类书。在一定意义上，这些书籍的负面影响超过了其正面影响。通常，自考教材中已经附有习题解答及难题的解法提示，学生只要反复看书，仔细思考便可以解决问题。事实上，学生为了做出习题，便得多次研究教材，从而达到做习题的目的：熟悉内容，掌握内容。事实上，既便自己的作业做得不够完整，有错误，那也是自己的作品，能够从练习过程中得到有益的体验。与之相反，将别人的解答看懂或根本不看，抄上练习本应付老师的做法则非常有害，相当于自动放弃锻炼自己的机会，根本达不到做习题的目的。

最后，将学习的投入与产出方面的三个环节归纳为一个简单的计算公式：

读书（30%）+听课记笔记（30%）+作业（40%）= 考试成绩

总之，读书是一件辛苦的过程，也是一种体验和享受的过程。一分辛劳换来一分收获，以科学的态度与方法指导我们的学习，便肯定会取得理想的成绩。